Theorem funcnv2 6616

Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 6617). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnv2	⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem funcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 6103	. . 3 ⊢ Rel ◡𝐴
2		dffun6 6556	. . 3 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ (Rel ◡𝐴 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥))
3	1, 2	mpbiran 708	. 2 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥)
4		vex 3474	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
5		vex 3474	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	4, 5	brcnv 5880	. . . 4 ⊢ (𝑦◡𝐴𝑥 ↔ 𝑥𝐴𝑦)
7	6	mobii 2538	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
8	7	albii 1814	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 𝑦◡𝐴𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)
9	3, 8	bitri 275	1 ⊢ (Fun ◡𝐴 ↔ ∀𝑦∃*𝑥 𝑥𝐴𝑦)

Syntax hints:   ↔ wb 205  ∀wal 1532  ∃*wmo 2528   class class class wbr 5143  ^◡ccnv 5672  Rel wrel 5678  Fun wfun 6537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-mo 2530  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-fun 6545

This theorem is referenced by:  funcnv  6617  fun2cnv  6619  fun11  6622  dff12  6787  1stconst  8100  2ndconst  8101

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »