Theorem 2lplnm2N 39088

Description: The meet of two different lattice planes in a lattice volume is a lattice line. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lplnm2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2lplnm2.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lplnm2.a	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2lplnm2.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
2lplnm2.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lplnm2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Proof of Theorem 2lplnm2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp22 1205	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
2		simp1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
3		hllat 38829	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
4	3	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp21 1204	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
6		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		2lplnm2.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
8	6, 7	lplnbase 39001	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10	6, 7	lplnbase 39001	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
11	1, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12		2lplnm2.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
13	6, 12	latmcl 18425	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
14	4, 9, 11, 13	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15		2lplnm2.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
16		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
17		2lplnm2.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
18	15, 16, 7, 17	2lplnj 39087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) = 𝑊)
19		simp23 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑊 ∈ 𝑉)
20	18, 19	eqeltrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑉)
21	6, 15, 16	latlej1 18433	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
22	4, 9, 11, 21	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌))
23		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
24	15, 23, 7, 17	lplncvrlvol2 39082	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋(join‘𝐾)𝑌) ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ≤ (𝑋(join‘𝐾)𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
25	2, 5, 20, 22, 24	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌))
26	6, 16, 12, 23	cvrexch 38887	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
27	2, 9, 11, 26	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋( ⋖ ‘𝐾)(𝑋(join‘𝐾)𝑌)))
28	25, 27	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌)
29		2lplnm2.a	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
30	6, 23, 29, 7	llncvrlpln 39025	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)( ⋖ ‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
31	2, 14, 11, 28, 30	syl31anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁 ↔ 𝑌 ∈ 𝑃))
32	1, 31	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑉) ∧ (𝑋 ≤ 𝑊 ∧ 𝑌 ≤ 𝑊 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17173  lecple 17233  joincjn 18296  meetcmee 18297  Latclat 18416   ⋖ ccvr 38728  HLchlt 38816  LLinesclln 38958  LPlanesclpl 38959  LVolsclvol 38960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-lat 18417  df-clat 18484  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »