Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i1m 39386
Description: Version of modular law pmod1i 39376 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))

Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 483 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1249 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑌𝐵)
4 simpl23 1250 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑍𝐵)
5 simpl3 1190 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑃) 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 atmod.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 atmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 39385 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1380 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
13 simp1l 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 38888 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 479 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OL)
1713hllatd 38891 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 479 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simpl22 1249 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
20 simpl23 1250 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑍𝐵)
216, 9latmcl 18429 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
2218, 19, 20, 21syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
23 eqid 2725 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
246, 8, 23olj02 38753 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)) = (𝑌 𝑍))
2516, 22, 24syl2anc 582 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)) = (𝑌 𝑍))
26 oveq1 7422 . . . 4 ((𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)))
2726adantl 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)))
28 oveq1 7422 . . . . . 6 ((𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = ((0.‘𝐾) 𝑌))
2928adantl 480 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = ((0.‘𝐾) 𝑌))
306, 8, 23olj02 38753 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑌) = 𝑌)
3116, 19, 30syl2anc 582 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑌) = 𝑌)
3229, 31eqtrd 2765 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = 𝑌)
3332oveq1d 7430 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍) = (𝑌 𝑍))
3425, 27, 333eqtr4d 2775 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
35 simp21 1203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝑋𝐵)
36 simp1r 1195 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝑃𝐴)
376, 9, 23, 10meetat2 38824 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)))
3815, 35, 36, 37syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)))
3912, 34, 38mpjaodan 956 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5143  cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  joincjn 18300  meetcmee 18301  0.cp0 18412  Latclat 18420  OLcol 38701  Atomscatm 38790  HLchlt 38877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-psubsp 39031  df-pmap 39032  df-padd 39324
This theorem is referenced by:  dalawlem3  39401  dalawlem6  39404
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »