Theorem cdlemg47 40323

Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, ninth line of third paragraph on p. 117: "we conclude that gf = fg." (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg46.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemg46.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg46.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg46.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg47	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹   ℎ,𝐻   ℎ,𝐾   𝑅,ℎ   𝑇,ℎ   ℎ,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(ℎ)   𝐺(ℎ)

Proof of Theorem cdlemg47

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1200	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp2l 1196	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ ∈ 𝑇)
3		simp12 1201	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		cdlemg46.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		cdlemg46.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
6	4, 5	ltrnco 40306	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
8		simp13 1202	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → 𝐺 ∈ 𝑇)
9		simp3 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹)))
10		cdlemg46.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
11		cdlemg46.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
12	10, 4, 5, 11	cdlemg46 40322	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ℎ ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐹))
13	1, 3, 2, 9, 12	syl121anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐹))
14		simp2r 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺))
15	13, 14	neeqtrd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐺))
16	4, 5, 11	cdlemg44 40320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ((ℎ ∘ 𝐹) ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘(ℎ ∘ 𝐹)) ≠ (𝑅‘𝐺)) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹)))
17	1, 7, 8, 15, 16	syl121anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹)))
18		coass 6270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹) = (𝐺 ∘ (ℎ ∘ 𝐹))
19	17, 18	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹))
20		simp33 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))
21	20, 14	neeqtrd 2999	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐺))
22	4, 5, 11	cdlemg44 40320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐺)) → (ℎ ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ℎ))
23	1, 2, 8, 21, 22	syl121anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ ℎ))
24	23	coeq1d 5864	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = ((𝐺 ∘ ℎ) ∘ 𝐹))
25	19, 24	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
26		coass 6270	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∘ 𝐹) ∘ 𝐺) = (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))
27		coass 6270	. . . 4 ⊢ ((ℎ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
28	25, 26, 27	3eqtr3g 2788	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
29	28	coeq2d 5865	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))))
30		coass 6270	. . . 4 ⊢ ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
31	10, 4, 5	ltrn1o 39711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ℎ ∈ 𝑇) → ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵)
32	1, 2, 31	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵)
33		f1ococnv1 6866	. . . . . 6 ⊢ (ℎ:𝐵–1-1-onto→𝐵 → (◡ℎ ∘ ℎ) = ( I ↾ 𝐵))
34	32, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ ℎ) = ( I ↾ 𝐵))
35	34	coeq1d 5864	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
36	30, 35	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)))
37	4, 5	ltrnco 40306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
38	1, 3, 8, 37	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
39	10, 4, 5	ltrn1o 39711	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
40	1, 38, 39	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵)
41		f1of 6837	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝐵⟶𝐵)
42		fcoi2 6771	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐺):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝐹 ∘ 𝐺))
44	36, 43	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐹 ∘ 𝐺))) = (𝐹 ∘ 𝐺))
45		coass 6270	. . . 4 ⊢ ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
46	34	coeq1d 5864	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → ((◡ℎ ∘ ℎ) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
47	45, 46	eqtr3id 2779	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))) = (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
48	4, 5	ltrnco 40306	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
49	1, 8, 3, 48	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇)
50	10, 4, 5	ltrn1o 39711	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ 𝑇) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵)
51	1, 49, 50	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵)
52		f1of 6837	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐵–1-1-onto→𝐵 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐵⟶𝐵)
53		fcoi2 6771	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐵⟶𝐵 → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ 𝐹))
54	51, 52, 53	3syl 18	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (( I ↾ 𝐵) ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) = (𝐺 ∘ 𝐹))
55	47, 54	eqtrd 2765	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (◡ℎ ∘ (ℎ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))) = (𝐺 ∘ 𝐹))
56	29, 44, 55	3eqtr3d 2773	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (ℎ ∈ 𝑇 ∧ (𝑅‘𝐹) = (𝑅‘𝐺)) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ ℎ ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅‘ℎ) ≠ (𝑅‘𝐹))) → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐺 ∘ 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   I cid 5575  ^◡ccnv 5677   ↾ cres 5680   ∘ ccom 5682  ⟶wf 6544  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  Basecbs 17181  HLchlt 38936  LHypclh 39571  LTrncltrn 39688  trLctrl 39745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-riotaBAD 38539

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-undef 8278  df-map 8846  df-proset 18288  df-poset 18306  df-plt 18323  df-lub 18339  df-glb 18340  df-join 18341  df-meet 18342  df-p0 18418  df-p1 18419  df-lat 18425  df-clat 18492  df-oposet 38762  df-ol 38764  df-oml 38765  df-covers 38852  df-ats 38853  df-atl 38884  df-cvlat 38908  df-hlat 38937  df-llines 39085  df-lplanes 39086  df-lvols 39087  df-lines 39088  df-psubsp 39090  df-pmap 39091  df-padd 39383  df-lhyp 39575  df-laut 39576  df-ldil 39691  df-ltrn 39692  df-trl 39746

This theorem is referenced by:  cdlemg48  40324

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »