Theorem fisupg 9316

Description: Lemma showing existence and closure of supremum of a finite set. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fisupg	⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fisupg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimaxg 9315	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥))
2		sotrieq2 5620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ¬ 𝑦𝑅𝑥)))
3	2	simprbda 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)
4	3	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
5	4	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
6	5	a1dd 50	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
7		pm2.27 42	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦𝑅𝑥))
8		so2nr 5616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥))
9		pm3.21 471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
10	9	con3d 152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 → (¬ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
11	8, 10	syl5com 31	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
12	11	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝑥 → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
13	7, 12	syl9r 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≠ 𝑦 → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦)))
14	6, 13	pm2.61dne 3025	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ¬ 𝑥𝑅𝑦))
15	14	ralimdva 3164	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦))
16		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
17	16	rspcev 3609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)
18	17	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
19	18	ralrimivw 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))
21	15, 20	jctird 526	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
22	21	reximdva 3165	. . 3 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
23	22	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧))))
24	1, 23	mpd 15	1 ⊢ ((𝑅 Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦𝑅𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ∅c0 4323   class class class wbr 5148   Or wor 5589  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-en 8965  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  fisup2g  9492  fisupcl  9493  rencldnfilem  42240

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »