Theorem latm4 38709

Description: Rearrangement of lattice meet of 4 classes. (in4 4226 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latm4	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Proof of Theorem latm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ OL)
2		simp2r 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simp3l 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simp3r 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑊 ∈ 𝐵)
5		olmass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olmass.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	5, 6	latm12 38706	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))
9	8	oveq2d 7440	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
10		simp2l 1196	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		ollat 38689	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
12	11	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 6	latmcl 18437	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
14	12, 3, 4, 13	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
15	5, 6	latmassOLD 38705	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
16	1, 10, 2, 14, 15	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ (𝑍 ∧ 𝑊))))
17	5, 6	latmcl 18437	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
18	12, 2, 4, 17	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)
19	5, 6	latmassOLD 38705	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
20	1, 10, 3, 18, 19	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)) = (𝑋 ∧ (𝑍 ∧ (𝑌 ∧ 𝑊))))
21	9, 16, 20	3eqtr4d 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑊 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑍 ∧ 𝑊)) = ((𝑋 ∧ 𝑍) ∧ (𝑌 ∧ 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  meetcmee 18309  Latclat 18428  OLcol 38650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18292  df-poset 18310  df-lub 18343  df-glb 18344  df-join 18345  df-meet 18346  df-lat 18429  df-oposet 38652  df-ol 38654

This theorem is referenced by:  latmmdiN  38710  latmmdir  38711

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »