MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oiiso 9560
Description: The order isomorphism of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oiiso ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 5635 . 2 (𝐴𝑉𝑅 Se 𝐴)
2 oicl.1 . . . 4 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
32ordtype 9555 . . 3 ((𝑅 We 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
43ancoms 457 . 2 ((𝑅 Se 𝐴𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
51, 4sylan 578 1 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   E cep 5575   Se wse 5625   We wwe 5626  dom cdm 5672   Isom wiso 6544  OrdIsocoi 9532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-oi 9533
This theorem is referenced by:  oien  9561  wofib  9568  cantnfle  9694  cantnflt  9695  cantnflt2  9696  cantnfp1lem3  9703  cantnflem1b  9709  cantnflem1d  9711  cantnflem1  9712  wemapwe  9720  cnfcomlem  9722  cnfcom  9723  cnfcom3lem  9726  infxpenlem  10036  finnisoeu  10136  dfac12lem2  10167  cofsmo  10292  fpwwe2lem5  10658  fpwwe2lem6  10659  fpwwe2lem8  10661  pwfseqlem5  10686  fz1isolem  14454
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »