Theorem onintopssconn 35918

Description: An ordinal topology is connected, expressed in constants. (Contributed by Chen-Pang He, 16-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onintopssconn	⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Proof of Theorem onintopssconn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3961	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) ↔ (𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top))
2		eloni 6373	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ On → Ord 𝑥)
3		ordtopconn 35917	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝑥 → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑥 ∈ Top ↔ 𝑥 ∈ Conn))
5	4	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
6	1, 5	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (On ∩ Top) → 𝑥 ∈ Conn)
7	6	ssriv 3982	1 ⊢ (On ∩ Top) ⊆ Conn

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  Ord word 6362  Oncon0 6363  Topctop 22788  Conncconn 23308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-fv 6550  df-topgen 17418  df-top 22789  df-bases 22842  df-cld 22916  df-conn 23309

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »