MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onssnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onssnum 10065
Description: All subsets of the ordinals are numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
onssnum ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onssnum
StepHypRef Expression
1 uniexg 7746 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 ssorduni 7782 . . . 4 (𝐴 ⊆ On → Ord 𝐴)
3 elong 6379 . . . . 5 ( 𝐴 ∈ V → ( 𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
43biimpar 476 . . . 4 (( 𝐴 ∈ V ∧ Ord 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
51, 2, 4syl2an 594 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ On)
6 onsuc 7815 . . 3 ( 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
7 onenon 9974 . . 3 (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ dom card)
85, 6, 73syl 18 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → suc 𝐴 ∈ dom card)
9 onsucuni 7832 . . 3 (𝐴 ⊆ On → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
109adantl 480 . 2 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
11 ssnum 10064 . 2 ((suc 𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐴 ⊆ suc 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
128, 10, 11syl2anc 582 1 ((𝐴𝑉𝐴 ⊆ On) → 𝐴 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  Vcvv 3461  wss 3944   cuni 4909  dom cdm 5678  Ord word 6370  Oncon0 6371  suc csuc 6373  cardccrd 9960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-card 9964
This theorem is referenced by:  dfac12lem3  10170  cfeq0  10281  cfsuc  10282  cff1  10283  cfflb  10284  cflim2  10288  cfss  10290  cfslb  10291
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »