Theorem pr2eldif2 42979

Description: If an unordered pair is equinumerous to ordinal two, then a part is an element of the difference of the pair and the singleton of the other part. (Contributed by RP, 21-Oct-2023.)

Assertion

Ref	Expression
pr2eldif2	⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

Proof of Theorem pr2eldif2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pren2 42977	. 2 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		prid2g 4761	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
3	2	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ {𝐴, 𝐵})
4		necom 2990	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ 𝐵 ≠ 𝐴)
5		nelsn 4664	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐴 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
6	4, 5	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
7	6	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
8	3, 7	eldifd 3956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))
9	1, 8	sylbi 216	1 ⊢ ({𝐴, 𝐵} ≈ 2o → 𝐵 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∖ {𝐴}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  2_oc2o 8474   ≈ cen 8954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-ord 6366  df-on 6367  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-1o 8480  df-2o 8481  df-en 8958

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »