MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  trfilss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trfilss 23824
Description: If 𝐴 is a member of the filter, then the filter truncated to 𝐴 is a subset of the original filter. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
trfilss ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)

Proof of Theorem trfilss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restval 17408 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) = ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)))
2 filin 23789 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
323expa 1115 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝐹) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
43an32s 650 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) ∧ 𝑥𝐹) → (𝑥𝐴) ∈ 𝐹)
54fmpttd 7122 . . 3 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)):𝐹𝐹)
65frnd 6729 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → ran (𝑥𝐹 ↦ (𝑥𝐴)) ⊆ 𝐹)
71, 6eqsstrd 4016 1 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐴𝐹) → (𝐹t 𝐴) ⊆ 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  cin 3944  wss 3945  cmpt 5231  ran crn 5678  cfv 6547  (class class class)co 7417  t crest 17402  Filcfil 23780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-rest 17404  df-fbas 21281  df-fil 23781
This theorem is referenced by:  fgtr  23825  flimrest  23918
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »