Theorem 4atlem10 39079

Description: Lemma for 4at 39086. Combine both possible cases. (Contributed by NM, 9-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
4at.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
4at.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4at.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
4atlem10	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Proof of Theorem 4atlem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1201	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 38836	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simp21l 1288	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
4		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5		4at.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	atbase 38761	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
7	3, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
8		simp21r 1289	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
9	4, 5	atbase 38761	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
11		4at.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
12	4, 11, 5	hlatjcl 38839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
13	12	3ad2ant1 1131	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
14		simp22 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑉 ∈ 𝐴)
15		simp23 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
16	4, 11, 5	hlatjcl 38839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
17	1, 14, 15, 16	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾))
18	4, 11	latjcl 18430	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑉 ∨ 𝑊) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
19	2, 13, 17, 18	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))
20		4at.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21	4, 20, 11	latjle12 18441	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
22	2, 7, 10, 19, 21	syl13anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
23		simp11 1201	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
24	3, 8, 14	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
25	24	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
26	15	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
27		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊))
28		simp33 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
29	28	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
30	26, 27, 29	3jca 1126	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
31		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
32	20, 11, 5	4atlem10b 39078	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
33	23, 25, 30, 31, 32	syl31anc 1371	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
34	33	3exp 1117	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
35	11, 5	hlatjcom 38840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑆))
36	1, 8, 3, 35	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑆))
37	36	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
38	37	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
39		simp11 1201	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
40	8, 3, 14	3jca 1126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
41	40	3ad2ant1 1131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴))
42	15	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑊 ∈ 𝐴)
43		simp2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊))
44		simp12 1202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
45		simp13 1203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
46	44, 45	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
47		simp21 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴))
48		simp32 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
49	20, 11, 5	4atlem0a 39066	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ (¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
50	1, 46, 47, 48, 28, 49	syl32anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
51	50	3ad2ant1 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
52	42, 43, 51	3jca 1126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆)))
53		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
54		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
55	53, 54	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
56	55	3adant2 1129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
57	20, 11, 5	4atlem10b 39078	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) ∧ (𝑊 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ ¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))) ∧ (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
58	39, 41, 52, 56, 57	syl31anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑅)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
59	38, 58	eqtr3d 2770	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∧ (𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))
60	59	3exp 1117	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)))))
61		simp1 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴))
62		simp3 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
63	20, 11, 5	4atlem3b 39071	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊)))
64	61, 3, 8, 15, 62, 63	syl131anc 1381	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (¬ 𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊) ∨ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑊)))
65	34, 60, 64	mpjaod 859	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))
66	22, 65	sylbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑅 ∨ 𝑆) ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑉 ∨ 𝑊))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  Latclat 18422  Atomscatm 38735  HLchlt 38822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973

This theorem is referenced by:  4atlem11b  39081

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