Theorem ablcom 19754

Description: An Abelian group operation is commutative. (Contributed by NM, 26-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ablcom	⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem ablcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablcmn 19742	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
2		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	cmncom 19753	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
5	1, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  CMndccmn 19735  Abelcabl 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-12 2167  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6500  df-fv 6556  df-ov 7423  df-cmn 19737  df-abl 19738

This theorem is referenced by:  ablinvadd  19762  ablsub2inv  19763  ablsubadd  19764  abladdsub  19767  ablsubaddsub  19769  ablpncan3  19771  ablsub32  19776  ablnnncan  19777  ablsubsub23  19779  eqgabl  19789  subgabl  19791  ablnsg  19802  lsmcomx  19811  qusabl  19820  frgpnabl  19830  imasabl  19831  subrngringnsg  20490  ngplcan  24533  clmnegsubdi2  25045  clmvsubval2  25050  ncvspi  25097  r1pid  26109  abliso  32769  r1plmhm  33280  lindsunlem  33322  cnaddcom  38444  toycom  38445  lflsub  38539  lfladdcom  38544

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »