Theorem ablsub2inv 19763

Description: Abelian group subtraction of two inverses. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablsub2inv.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablsub2inv.m	⊢ − = (-g‘𝐺)
ablsub2inv.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
ablsub2inv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
ablsub2inv.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ablsub2inv.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ablsub2inv	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Proof of Theorem ablsub2inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ablsub2inv.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		ablsub2inv.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4		ablsub2inv.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5		ablsub2inv.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
6		ablgrp 19740	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
8		ablsub2inv.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9	1, 4	grpinvcl 18944	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
10	7, 8, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
11		ablsub2inv.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	1, 2, 3, 4, 7, 10, 11	grpsubinv 18968	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌))
13	1, 2	ablcom 19754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Abel ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
14	5, 10, 11, 13	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
15	1, 4	grpinvinv 18962	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
16	7, 11, 15	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑁‘𝑌)) = 𝑌)
17	16	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)) = (𝑌(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
18	14, 17	eqtr4d 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
19	1, 4	grpinvcl 18944	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
20	7, 11, 19	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 4	grpinvadd 18974	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
22	7, 8, 20, 21	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))) = ((𝑁‘(𝑁‘𝑌))(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑋)))
23	18, 22	eqtr4d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
24	1, 2, 4, 3	grpsubval 18942	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
25	8, 11, 24	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑁‘(𝑋(+g‘𝐺)(𝑁‘𝑌))))
27	23, 26	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋)(+g‘𝐺)𝑌) = (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)))
28	1, 3, 4	grpinvsub 18978	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
29	7, 8, 11, 28	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
30	12, 27, 29	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) − (𝑁‘𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  Grpcgrp 18890  inv_gcminusg 18891  -_gcsg 18892  Abelcabl 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738

This theorem is referenced by:  ngpinvds  24535

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »