Theorem addgt0d 11819

Description: Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addgt0d.3	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
addgt0d.4	⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
addgt0d	⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem addgt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		0red 11247	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		addgt0d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
5	3, 1, 4	ltled 11392	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
6		addgt0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
7	1, 2, 5, 6	addgegt0d 11817	1 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝcr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   < clt 11278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284

This theorem is referenced by:  nnne0  12276  bpoly4  16035  tanhlt1  16136  nnoddm1d2  16362  pythagtriplem11  16793  pythagtriplem12  16794  pythagtriplem13  16795  pythagtriplem14  16796  pythagtriplem16  16798  prmgaplem7  17025  asinsin  26823  gausslemma2dlem1a  27297  clwwlkf1  29858  dffltz  42058  pellexlem2  42250  radcnvrat  43751  stirlinglem15  45476  fourierdlem79  45573

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »