Theorem brmptiunrelexpd 43144

Description: If two elements are connected by an indexed union of relational powers, then they are connected via 𝑛 instances the relation, for some 𝑛. Generalization of dfrtrclrec2 15045. (Contributed by RP, 21-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
brmptiunrelexpd.c	⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
brmptiunrelexpd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
brmptiunrelexpd.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
brmptiunrelexpd	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝑟,𝐶,𝑁   𝑅,𝑛,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛,𝑟)   𝐴(𝑟)   𝐵(𝑟)

Proof of Theorem brmptiunrelexpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brmptiunrelexpd.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
2		brmptiunrelexpd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ ℕ0)
3		nn0ex 12516	. . . 4 ⊢ ℕ0 ∈ V
4	3	ssex 5325	. . 3 ⊢ (𝑁 ⊆ ℕ0 → 𝑁 ∈ V)
5	2, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ V)
6		brmptiunrelexpd.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑟 ∈ V ↦ ∪ 𝑛 ∈ 𝑁 (𝑟↑𝑟𝑛))
7	6	briunov2 43143	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))
8	1, 5, 7	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐶‘𝑅)𝐵 ↔ ∃𝑛 ∈ 𝑁 𝐴(𝑅↑𝑟𝑛)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3067  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∪ ciun 5000   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  ℕ₀cn0 12510  ↑_𝑟crelexp 15006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-n0 12511

This theorem is referenced by:  brfvidRP  43149  brfvrcld  43152  brfvtrcld  43182  brfvrtrcld  43195

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »