Theorem cdleme21ct 39802

Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 115. (Contributed by NM, 29-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdleme21.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdleme21.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdleme21.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdleme21.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme21.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme21.u	⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdleme21ct	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧))

Proof of Theorem cdleme21ct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1201	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1202	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
3		simp13 1203	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		simp21l 1288	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
5		simp231 1315	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
6		simp232 1316	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
7		simp3ll 1242	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝐴)
8		simp3r 1200	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))
9		cdleme21.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
10		cdleme21.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11		cdleme21.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
12		cdleme21.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13		cdleme21.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14		cdleme21.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊)
15	9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleme21c 39800	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑧))
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15	syl332anc 1399	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑧))
17		simp233 1317	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
18		simp11l 1282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
19		hlcvl 38831	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CvLat)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ CvLat)
21		simp11r 1283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑊 ∈ 𝐻)
22		simp12l 1284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
23		simp12r 1285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)
24	9, 10, 11, 12, 13, 14	cdleme0a 39684	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑈 ∈ 𝐴)
25	18, 21, 22, 23, 3, 5, 24	syl222anc 1384	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝐴)
26		simp22l 1290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
27	18	hllatd 38836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
28		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
29	28, 10, 12	hlatjcl 38839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
30	18, 22, 3, 29	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
31	28, 13	lhpbase 39471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
32	21, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
33	28, 9, 11	latmle2 18457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
34	27, 30, 32, 33	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑊) ≤ 𝑊)
35	14, 34	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ≤ 𝑊)
36		simp21r 1289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑆 ≤ 𝑊)
37		nbrne2 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑆)
38	35, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ≠ 𝑆)
39		simp22r 1291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑇 ≤ 𝑊)
40		nbrne2 5168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑇)
41	35, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ≠ 𝑇)
42	9, 10, 12	cvlatexch3 38810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ≠ 𝑆 ∧ 𝑈 ≠ 𝑇)) → (𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑇)))
43	20, 25, 4, 26, 38, 41, 42	syl132anc 1386	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑇)))
44	17, 43	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑇))
45	44	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) ∧ 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧)) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑇))
46		simp3lr 1243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑧 ≤ 𝑊)
47		nbrne2 5168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ≤ 𝑊 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑧)
48	35, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑈 ≠ 𝑧)
49	9, 10, 12	cvlatexch3 38810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈 ≠ 𝑇 ∧ 𝑈 ≠ 𝑧)) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧) → (𝑈 ∨ 𝑇) = (𝑈 ∨ 𝑧)))
50	20, 25, 26, 7, 41, 48, 49	syl132anc 1386	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧) → (𝑈 ∨ 𝑇) = (𝑈 ∨ 𝑧)))
51	50	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) ∧ 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧)) → (𝑈 ∨ 𝑇) = (𝑈 ∨ 𝑧))
52	45, 51	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) ∧ 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧)) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑧))
53	52	ex 412	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧) → (𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑧)))
54	9, 10, 12	hlatlej2 38848	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
55	18, 25, 4, 54	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆))
56		breq2 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑧) → (𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑧)))
57	55, 56	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ((𝑈 ∨ 𝑆) = (𝑈 ∨ 𝑧) → 𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑧)))
58	9, 10, 12	cdleme21a 39798	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑆 ≠ 𝑧)
59	18, 22, 3, 4, 6, 7, 8, 58	syl322anc 1396	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → 𝑆 ≠ 𝑧)
60	9, 10, 12	cvlatexch2 38809	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑧) → (𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑧) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑧)))
61	20, 4, 25, 7, 59, 60	syl131anc 1381	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑆 ≤ (𝑈 ∨ 𝑧) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑧)))
62	53, 57, 61	3syld 60	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → (𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧) → 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑧)))
63	16, 62	mtod 197	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑇 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑈 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑧 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∨ 𝑧) = (𝑆 ∨ 𝑧))) → ¬ 𝑈 ≤ (𝑇 ∨ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  joincjn 18303  meetcmee 18304  Latclat 18423  Atomscatm 38735  CvLatclc 38737  HLchlt 38822  LHypclh 39457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lhyp 39461

This theorem is referenced by:  cdleme21e  39804

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