Theorem hlatlej2 38842

Description: A join's second argument is less than or equal to the join. Special case of latlej2 18434 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatlej.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		hlatlej.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	1, 2, 3	hlatlej1 38841	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
5	4	3com23 1124	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑄 ∨ 𝑃))
6	2, 3	hlatjcom 38834	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑃))
7	5, 6	breqtrrd 5170	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  lecple 17233  joincjn 18296  Atomscatm 38729  HLchlt 38816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18331  df-join 18333  df-lat 18417  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817

This theorem is referenced by:  2llnne2N  38875  cvrat3  38909  cvrat4  38910  hlatexch3N  38947  hlatexch4  38948  dalem3  39131  dalem25  39165  lnatexN  39246  lncmp  39250  2llnma3r  39255  paddasslem5  39291  dalawlem3  39340  dalawlem6  39343  dalawlem7  39344  dalawlem12  39349  lhp2atne  39501  lhp2at0ne  39503  4atexlemunv  39533  cdlemc2  39659  cdlemc5  39662  cdleme3h  39702  cdleme7  39716  cdleme9  39720  cdleme11c  39728  cdleme11dN  39729  cdleme11j  39734  cdleme16b  39746  cdleme17b  39754  cdleme18a  39758  cdleme18b  39759  cdleme18c  39760  cdleme19a  39770  cdleme20d  39779  cdleme20j  39785  cdleme21ct  39796  cdleme22a  39807  cdleme22e  39811  cdleme22eALTN  39812  cdleme35b  39917  cdlemg9a  40099  cdlemg12a  40110  cdlemg13a  40118  cdlemg17a  40128  cdlemg17g  40134  cdlemg18c  40147  cdlemg33b0  40168  cdlemg46  40202  cdlemh1  40282  cdlemh  40284  cdlemk4  40301  cdlemki  40308  cdlemksv2  40314  cdlemk12  40317  cdlemk15  40322  cdlemk12u  40339  cdlemkid1  40389  dia2dimlem1  40531  dia2dimlem3  40533  cdlemn10  40673  dihjatcclem1  40885

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »