Theorem chsh 31047

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 31045	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   “ cima 5681  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  ℕcn 12243   ⇝_𝑣 chli 30750   S_ℋ csh 30751   C_ℋ cch 30752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5684  df-cnv 5686  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fv 6556  df-ov 7423  df-ch 31044

This theorem is referenced by:  chsssh  31048  chshii  31050  ch0  31051  chss  31052  choccl  31129  chjval  31175  chjcl  31180  pjhth  31216  pjhtheu  31217  pjpreeq  31221  pjpjpre  31242  ch0le  31264  chle0  31266  chslej  31321  chjcom  31329  chub1  31330  chlub  31332  chlej1  31333  chlej2  31334  spansnsh  31384  fh1  31441  fh2  31442  chscllem1  31460  chscllem2  31461  chscllem3  31462  chscllem4  31463  chscl  31464  pjorthi  31492  pjoi0  31540  hstoc  32045  hstnmoc  32046  ch1dle  32175  atomli  32205  chirredlem3  32215  sumdmdii  32238

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »