Theorem pjpreeq 31201

Description: Equality with a projection. This version of pjeq 31202 does not assume the Axiom of Choice via pjhth 31196. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
pjpreeq	⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem pjpreeq

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chsh 31027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )
2		shocsh 31087	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
3		shsel 31117	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
4	1, 2, 3	syl2anc2 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
5	4	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
6	1, 2	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ )
7		ocin 31099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Sℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ)
9		pjhthmo 31105	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0ℋ) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
10	1, 6, 8, 9	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
12		reu5 3374	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
13		df-rmo 3372	. . . . . . . 8 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
14	13	anbi2i 622	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
15	12, 14	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ (∃𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ∧ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))))
16	5, 11, 15	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥))
17		riotacl 7388	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
18	16, 17	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻)
19		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) ∈ 𝐻 ↔ 𝐵 ∈ 𝐻))
20	18, 19	syl5ibcom 244	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 → 𝐵 ∈ 𝐻))
21	20	pm4.71rd 562	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
22		shsss 31116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (⊥‘𝐻) ∈ Sℋ ) → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
23	1, 2, 22	syl2anc2 584	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
24	23	sselda 3978	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → 𝐴 ∈ ℋ)
25		pjhval 31200	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
26	24, 25	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)))
27	26	eqeq1d 2730	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
28		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐻 → 𝐵 ∈ 𝐻)
29		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 +ℎ 𝑥) = (𝐵 +ℎ 𝑥))
30	29	eqeq2d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
31	30	rexbidv 3174	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)))
32	31	riota2 7396	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃!𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
33	28, 16, 32	syl2anr 596	. . 3 ⊢ (((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) ∧ 𝐵 ∈ 𝐻) → (∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥) ↔ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵))
34	33	pm5.32da 578	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → ((𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥)) ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ (℩𝑦 ∈ 𝐻 ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑦 +ℎ 𝑥)) = 𝐵)))
35	21, 27, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ∈ (𝐻 +ℋ (⊥‘𝐻))) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) = 𝐵 ↔ (𝐵 ∈ 𝐻 ∧ ∃𝑥 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃*wmo 2528  ∃wrex 3066  ∃!wreu 3370  ∃*wrmo 3371   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6542  ℩crio 7369  (class class class)co 7414   ℋchba 30722   +_ℎ cva 30723   S_ℋ csh 30731   C_ℋ cch 30732  ⊥cort 30733   +_ℋ cph 30734  0_ℋc0h 30738  proj_ℎcpjh 30740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-grpo 30296  df-ablo 30348  df-hvsub 30774  df-sh 31010  df-ch 31024  df-oc 31055  df-ch0 31056  df-shs 31111  df-pjh 31198

This theorem is referenced by:  pjeq  31202  pjpjpre  31222  chscllem1  31440  chscllem2  31441  chscllem3  31442

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »