Theorem cjcn2 15585

Description: The complex conjugate function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjcn2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) < 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐴,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem cjcn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjf 15092	. 2 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
2		cjcl 15093	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (∗‘𝑧) ∈ ℂ)
3		cjcl 15093	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
4		subcl 11496	. . . . 5 ⊢ (((∗‘𝑧) ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
6	5	abscld 15424	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)
7		cjsub 15137	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(𝑧 − 𝐴)) = ((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴)))
8	7	fveq2d 6900	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))))
9		subcl 11496	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑧 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	9	abscjd 15438	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘(∗‘(𝑧 − 𝐴))) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
11	8, 10	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) = (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
12	6, 11	eqled 11354	. 2 ⊢ ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) ≤ (abs‘(𝑧 − 𝐴)))
13	1, 12	cn1lem 15583	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ ℂ ((abs‘(𝑧 − 𝐴)) < 𝑦 → (abs‘((∗‘𝑧) − (∗‘𝐴))) < 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  ℂcc 11143   < clt 11285   − cmin 11481  ℝ⁺crp 13014  ∗ccj 15084  abscabs 15222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14008  df-exp 14068  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224

This theorem is referenced by:  climcj  15590  rlimcj  15595  cjcncf  24873

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »