Theorem domen1 9142

Description: Equality-like theorem for equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 8-Nov-2003.)

Assertion

Ref	Expression
domen1	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Proof of Theorem domen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensym 9022	. . 3 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ 𝐴)
2		endomtr 9031	. . 3 ⊢ ((𝐵 ≈ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
3	1, 2	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ≼ 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝐶)
4		endomtr 9031	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≼ 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
5	3, 4	impbida 799	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝐶 ↔ 𝐵 ≼ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   class class class wbr 5148   ≈ cen 8959   ≼ cdom 8960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964

This theorem is referenced by:  unxpwdom2  9611  carddomi2  9993  djudom2  10206  djuinf  10211  djulepw  10215  pwdjudom  10239  gchpwdom  10693  hargch  10696  dis2ndc  23401  isinf2  36971

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »