Theorem djudom2 10214

Description: Ordering law for cardinal addition. Theorem 6L(a) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djudom2	⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Proof of Theorem djudom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djudom1 10213	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶))
2		reldom 8976	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
3	2	brrelex1i 5738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
4		djucomen 10208	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
5	3, 4	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴))
6	2	brrelex2i 5739	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		djucomen 10208	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
8	6, 7	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵))
9		domen1 9150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶)))
10		domen2 9151	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵) → ((𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
11	9, 10	sylan9bb 508	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐵 ⊔ 𝐶) ≈ (𝐶 ⊔ 𝐵)) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
12	5, 8, 11	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ⊔ 𝐶) ≼ (𝐵 ⊔ 𝐶) ↔ (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵)))
13	1, 12	mpbid 231	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐶 ⊔ 𝐴) ≼ (𝐶 ⊔ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   class class class wbr 5152   ≈ cen 8967   ≼ cdom 8968   ⊔ cdju 9929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-dju 9932

This theorem is referenced by:  djulepw  10223  unctb  10236  infdjuabs  10237  infdju  10239  infdif  10240  fin45  10423  canthp1  10685  pwdjundom  10698  gchdjuidm  10699  gchpwdom  10701  gchhar  10710  pr2dom  42988  tr3dom  42989

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »