Theorem hargch 10690

Description: If 𝐴 + ≈ 𝒫 𝐴, then 𝐴 is a GCH-set. The much simpler converse to gchhar 10696. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hargch	⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Proof of Theorem hargch

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		harcl 9576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (har‘𝐴) ∈ On
2		sdomdom 8994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ (har‘𝐴))
3		ondomen 10054	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((har‘𝐴) ∈ On ∧ 𝑥 ≼ (har‘𝐴)) → 𝑥 ∈ dom card)
4	1, 2, 3	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ∈ dom card)
5		onenon 9966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((har‘𝐴) ∈ On → (har‘𝐴) ∈ dom card)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (har‘𝐴) ∈ dom card
7		cardsdom2 10005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ dom card ∧ (har‘𝐴) ∈ dom card) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)) ↔ 𝑥 ≺ (har‘𝐴)))
9	8	ibir 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (card‘(har‘𝐴)))
10		harcard 9995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (card‘(har‘𝐴)) = (har‘𝐴)
11	9, 10	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴))
12		elharval 9578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) ↔ ((card‘𝑥) ∈ On ∧ (card‘𝑥) ≼ 𝐴))
13	12	simprbi 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ∈ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → (card‘𝑥) ≼ 𝐴)
15		cardid2 9970	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom card → (card‘𝑥) ≈ 𝑥)
16		domen1 9137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((card‘𝑥) ≈ 𝑥 → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
17	4, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ((card‘𝑥) ≼ 𝐴 ↔ 𝑥 ≼ 𝐴))
18	14, 17	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → 𝑥 ≼ 𝐴)
19		domnsym 9117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≺ (har‘𝐴) → ¬ 𝐴 ≺ 𝑥)
21	20	con2i 139	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴))
22		sdomen2 9140	. . . . . . 7 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
23	22	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (¬ 𝑥 ≺ (har‘𝐴) ↔ ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
24	21, 23	imbitrid 243	. . . . 5 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
25		imnan 399	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≺ 𝑥 → ¬ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴) ↔ ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
26	24, 25	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
27	26	alrimiv 1923	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))
28	27	olcd 873	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴)))
29		relen 8962	. . . . 5 ⊢ Rel ≈
30	29	brrelex2i 5729	. . . 4 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
31		pwexb 7762	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝒫 𝐴 ∈ V)
32	30, 31	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
33		elgch 10639	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
34	32, 33	syl 17	. 2 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → (𝐴 ∈ GCH ↔ (𝐴 ∈ Fin ∨ ∀𝑥 ¬ (𝐴 ≺ 𝑥 ∧ 𝑥 ≺ 𝒫 𝐴))))
35	28, 34	mpbird 257	1 ⊢ ((har‘𝐴) ≈ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ∈ GCH)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846  ∀wal 1532   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470  𝒫 cpw 4598   class class class wbr 5142  dom cdm 5672  Oncon0 6363  ‘cfv 6542   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957  harchar 9573  cardccrd 9952  GCHcgch 10637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-oi 9527  df-har 9574  df-card 9956  df-gch 10638

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »