Theorem elrhmunit 20449

Description: Ring homomorphisms preserve unit elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elrhmunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))

Proof of Theorem elrhmunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
4	2, 3	unitss 20315	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅))
6	4, 5	sselid 3978	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑅))
7		rhmrcl1 20415	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
9	2, 8	ringidcl 20202	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	1, 7, 9	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘𝑅) = (∥r‘𝑅)
12		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
13		eqid 2728	. . . . . . 7 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑅)) = (∥r‘(oppr‘𝑅))
14	3, 8, 11, 12, 13	isunit 20312	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
15	5, 14	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)))
16	15	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅))
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (∥r‘𝑆) = (∥r‘𝑆)
18	2, 11, 17	rhmdvdsr 20447	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝐴(∥r‘𝑅)(1r‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)))
19	1, 6, 10, 16, 18	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)))
20		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
21	8, 20	rhm1 20428	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑆))
22	21	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆)))
24	19, 23	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆))
25		rhmopp 20448	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)))
26	25	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)))
27	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅))
28	12, 2	opprbas 20280	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(oppr‘𝑅))
29		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (∥r‘(oppr‘𝑆)) = (∥r‘(oppr‘𝑆))
30	28, 13, 29	rhmdvdsr 20447	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ ((oppr‘𝑅) RingHom (oppr‘𝑆)) ∧ 𝐴 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝐴(∥r‘(oppr‘𝑅))(1r‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)))
31	26, 6, 10, 27, 30	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)))
32	21	breq2d 5160	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
33	32	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(𝐹‘(1r‘𝑅)) ↔ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
34	31, 33	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆))
35		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑆) = (Unit‘𝑆)
36		eqid 2728	. . 3 ⊢ (oppr‘𝑆) = (oppr‘𝑆)
37	35, 20, 17, 36, 29	isunit 20312	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆) ↔ ((𝐹‘𝐴)(∥r‘𝑆)(1r‘𝑆) ∧ (𝐹‘𝐴)(∥r‘(oppr‘𝑆))(1r‘𝑆)))
38	24, 34, 37	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐹‘𝐴) ∈ (Unit‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  opp_rcoppr 20272  ∥_rcdsr 20293  Unitcui 20294   RingHom crh 20408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-ghm 19168  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-rhm 20411

This theorem is referenced by:  rhmunitinv  20450  imadrhmcl  20685  ply1asclunit  33259  qqhval2lem  33582  fldhmf1  41561

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »