Theorem en2top 22901

Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2top	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2		toponss 22842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
3	2	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5		sseq0 4400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7		velsn 4645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
8	6, 7	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
9	8	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ {∅}))
10	9	ssrdv 3986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11		topontop 22828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		0opn 22819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
15	14	snssd 4813	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
16	10, 15	eqssd 3997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17		0ex 5307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	ensn1 9042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ≈ 1o
19	16, 18	eqbrtrdi 5187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
20	19	olcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21		sdom2en01 10326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23		sdomnen 9002	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o → 𝑋 ≠ ∅))
27	1, 26	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
28	27	necomd 2993	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
29	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30		toponmax 22841	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝐽)
32		en2eqpr 10031	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
33	1, 29, 31, 32	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
34	28, 33	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
35	34, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
38	37	necomd 2993	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39		enpr2 10026	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
40	17, 30, 38, 39	mp3an2ani 1465	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
41	36, 40	eqbrtrd 5170	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
42	35, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  ∅c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  1_oc1o 8480  2_oc2o 8481   ≈ cen 8961   ≺ csdm 8963  Topctop 22808  TopOnctopon 22825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-top 22809  df-topon 22826

This theorem is referenced by:  hmphindis  23714

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