Theorem eqlkr4 38631

Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqlkr4.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr4.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
eqlkr4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
eqlkr4.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
eqlkr4.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
eqlkr4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
eqlkr4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
eqlkr4.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
eqlkr4.e	⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))

Assertion

Ref	Expression
eqlkr4	⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑟   𝐺,𝑟   𝐻,𝑟   𝐾,𝑟   𝑅,𝑟   𝑆,𝑟   𝑊,𝑟   𝜑,𝑟

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑟)   · (𝑟)

Proof of Theorem eqlkr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlkr4.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqlkr4.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
3		eqlkr4.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
4		eqlkr4.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻))
5		eqlkr4.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
6		eqlkr4.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑆)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
9		eqlkr4.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
10		eqlkr4.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
11	5, 6, 7, 8, 9, 10	eqlkr2 38566	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = (𝐾‘𝐻)) → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
12	1, 2, 3, 4, 11	syl121anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
13		eqlkr4.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
14		eqlkr4.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
15	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑊 ∈ LVec)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝑟 ∈ 𝑅)
17	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	9, 8, 5, 6, 7, 13, 14, 15, 16, 17	ldualvs 38603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝑟 · 𝐺) = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟})))
19	18	eqeq2d 2739	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ 𝑅) → (𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
20	19	rexbidva 3172	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝐺 ∘f (.r‘𝑆)((Base‘𝑊) × {𝑟}))))
21	12, 20	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝑅 𝐻 = (𝑟 · 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3066  {csn 4624   × cxp 5670  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677  Basecbs 17173  ._rcmulr 17227  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  LVecclvec 20980  LFnlclfn 38523  LKerclk 38551  LDualcld 38589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lvec 20981  df-lfl 38524  df-lkr 38552  df-ldual 38590

This theorem is referenced by:  lkrss2N  38635  lcfrlem16  41025  mapdrvallem2  41112

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »