Theorem even3prm2 47088

Description: If an even number is the sum of three prime numbers, one of the prime numbers must be 2. (Contributed by AV, 25-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
even3prm2	⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Proof of Theorem even3prm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 866	. . . 4 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
2	1	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
3		df-ne 2938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑅 = 2)
4		eldifsn 4795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2))
5		oddprmALTV 47056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑅 ∈ Odd )
6		emoo 47073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 𝑅 ∈ Odd ) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
7	6	expcom 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ Odd → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
9	4, 8	sylbir 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ≠ 2) → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
10	9	ex 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑅 ≠ 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
11	3, 10	biimtrrid 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
12	11	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
13	12	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )))
14	13	impcom 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
15	14	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (¬ 𝑅 = 2 → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ))
16	15	impcom 406	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) ∈ Odd )
17		3simpa 1145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
18	17	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
19	18	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ))
20		eqcom 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁)
21		evenz 46999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
22	21	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
23	22	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑁 ∈ ℂ)
24		prmz 16653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
26	25	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
27	26	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → 𝑅 ∈ ℂ)
28		prmz 16653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
29		prmz 16653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
30		zaddcl 12640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
31	28, 29, 30	syl2an 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
33	32	3adant3 1129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
34	33	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
35	23, 27, 34	subadd2d 11628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → ((𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄) ↔ ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁))
36	35	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = 𝑁 → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
37	20, 36	biimtrid 241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ)) → (𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)))
38	37	3impia 1114	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
39	38	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄))
40		odd2prm2 47087	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑅) ∈ Odd ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 − 𝑅) = (𝑃 + 𝑄)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
41	16, 19, 39, 40	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2))
42	41	orcd 871	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑅 = 2 ∧ (𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
43	42	ex 411	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 = 2 → ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2)))
44	2, 43	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
45		df-3or 1085	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) ↔ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2) ∨ 𝑅 = 2))
46	44, 45	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ∖ cdif 3946  {csn 4632  (class class class)co 7426  ℂcc 11144   + caddc 11149   − cmin 11482  2c2 12305  ℤcz 12596  ℙcprime 16649   Even ceven 46993   Odd codd 46994

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-prm 16650  df-even 46995  df-odd 46996

This theorem is referenced by:  mogoldbblem  47089

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »