Theorem fourierdlem7 45502

Description: The difference between the periodic sawtooth function and the identity function is decreasing. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem7.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem7.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem7.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem7.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem7.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem7.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem7.xlty	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem7	⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑇   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem7.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		fourierdlem7.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℝ)
4		fourierdlem7.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
5		fourierdlem7.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6	1, 5	resubcld 11673	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
7	4, 6	eqeltrid 2833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
8		fourierdlem7.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
9	5, 1	posdifd 11832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
10	8, 9	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
11	10, 4	breqtrrdi 5190	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
12	11	gt0ne0d 11809	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
13	3, 7, 12	redivcld 12073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ)
14		fourierdlem7.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
15	1, 14	resubcld 11673	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑋) ∈ ℝ)
16	15, 7, 12	redivcld 12073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ)
17	7, 11	elrpd 13046	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
18		fourierdlem7.xlty	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
19	14, 2, 1, 18	lesub2dd 11862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ≤ (𝐵 − 𝑋))
20	3, 15, 17, 19	lediv1dd 13107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
21		flwordi 13810	. . . 4 ⊢ ((((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇) ≤ ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
22	13, 16, 20, 21	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
23	13	flcld 13796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℤ)
24	23	zred 12697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ∈ ℝ)
25	16	flcld 13796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℤ)
26	25	zred 12697	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ∈ ℝ)
27	24, 26, 17	lemul1d 13092	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) ≤ (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) ↔ ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
28	22, 27	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ≤ ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
29		fourierdlem7.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
30	29	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
31		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → 𝑥 = 𝑌)
32		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑌))
33	32	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑌) / 𝑇))
34	33	fveq2d 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)))
35	34	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
36	31, 35	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
37	36	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑌) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
38	24, 7	remulcld 11275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
39	2, 38	readdcld 11274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
40	30, 37, 2, 39	fvmptd 7012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑌) = (𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)))
41	40	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌))
42	2	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
43	38	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
44	42, 43	pncan2d 11604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
45	41, 44	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑌) / 𝑇)) · 𝑇))
46		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝑥 = 𝑋)
47		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵 − 𝑥) = (𝐵 − 𝑋))
48	47	oveq1d 7435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐵 − 𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − 𝑋) / 𝑇))
49	48	fveq2d 6901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)))
50	49	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
51	46, 50	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝑋) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
53	26, 7	remulcld 11275	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
54	14, 53	readdcld 11274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
55	30, 52, 14, 54	fvmptd 7012	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑋) = (𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)))
56	55	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋))
57	14	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	53	recnd 11273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
59	57, 58	pncan2d 11604	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇)) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
60	56, 59	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑋) − 𝑋) = ((⌊‘((𝐵 − 𝑋) / 𝑇)) · 𝑇))
61	28, 45, 60	3brtr4d 5180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐸‘𝑌) − 𝑌) ≤ ((𝐸‘𝑋) − 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280   − cmin 11475   / cdiv 11902  ⌊cfl 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13790

This theorem is referenced by:  fourierdlem63  45557

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