Theorem grplid 18923

Description: The identity element of a group is a left identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grplid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grplid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem grplid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpmnd 18896	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2		grpbn0.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grplid.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		grplid.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mndlid 18713	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)
6	1, 5	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 0 + 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  +_gcplusg 17232  0_gc0g 17420  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892

This theorem is referenced by:  grplidd  18925  grprcan  18929  grpid  18931  isgrpid2  18932  grprinv  18946  grpinvid1  18947  grpinvid2  18948  grpidinv2  18953  grpinvid  18955  grplcan  18956  grpasscan1  18957  grpidlcan  18960  grplmulf1o  18968  grpidssd  18971  grpinvadd  18973  grpinvval2  18978  grplactcnv  18998  imasgrp  19011  mulgaddcom  19052  mulgdirlem  19059  subg0  19086  issubg2  19095  issubg4  19099  0subgOLD  19106  isnsg3  19114  nmzsubg  19119  ssnmz  19120  eqgid  19134  qusgrp  19140  qus0  19143  ghmid  19175  conjghm  19202  subgga  19250  cntzsubg  19289  sylow1lem2  19553  sylow2blem2  19575  sylow2blem3  19576  sylow3lem1  19581  lsmmod  19629  lsmdisj2  19636  pj1rid  19656  abladdsub4  19765  ablpncan2  19769  ablpnpcan  19773  ablnncan  19774  odadd1  19802  odadd2  19803  oddvdssubg  19809  dprdfadd  19976  pgpfac1lem3a  20032  rnglz  20104  rngrz  20105  isabvd  20699  lmod0vlid  20774  lmod0vs  20777  freshmansdream  21507  evpmodpmf1o  21527  ocvlss  21603  lsmcss  21623  psr0lid  21895  mplsubglem  21940  mplcoe1  21974  mhpaddcl  22074  mdetunilem6  22518  mdetunilem9  22521  ghmcnp  24018  tgpt0  24022  qustgpopn  24023  mdegaddle  26009  ply1rem  26099  gsumsubg  32760  ogrpinv0le  32795  ogrpaddltrbid  32800  ogrpinv0lt  32802  ogrpinvlt  32803  cyc3genpmlem  32872  isarchi3  32895  archirngz  32897  archiabllem1b  32900  orngsqr  33019  ornglmulle  33020  orngrmulle  33021  qusker  33061  grplsm0l  33112  quslsm  33115  mxidlprm  33183  matunitlindflem1  37089  lfl0f  38541  lfladd0l  38546  lkrlss  38567  lkrin  38636  dvhgrp  40580  baerlem3lem1  41180  mapdh6bN  41210  hdmap1l6b  41284  hdmapinvlem3  41393  hdmapinvlem4  41394  hdmapglem7b  41401  fsuppind  41823  fsuppssind  41826

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »