Theorem grpmnd 18897

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 18896	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 497	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  0_gc0g 17421  Mndcmnd 18694  Grpcgrp 18890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6500  df-fv 6556  df-ov 7423  df-grp 18893

This theorem is referenced by:  grpcl  18898  grpass  18899  grpideu  18901  grpmndd  18903  grpplusf  18905  grpplusfo  18906  grpsgrp  18917  dfgrp2  18919  grpidcl  18922  grplid  18924  grprid  18925  dfgrp3  18995  prdsgrpd  19006  prdsinvgd  19007  mulgaddcom  19053  mulginvcom  19054  mulgz  19057  mulgneg2  19063  mulgass  19066  issubg3  19099  grpissubg  19101  0subg  19106  subgacs  19116  0ghm  19184  pwsdiagghm  19198  cntzsubg  19290  oppggrp  19311  symgsubmefmndALT  19358  psgnunilem5  19449  psgnuni  19454  0subgALT  19523  lsmcntzr  19635  pj1ghm  19658  isabl2  19745  cntrabl  19798  dprdfid  19974  dprdfeq0  19979  dprdlub  19983  dmdprdsplitlem  19994  dprddisj2  19996  dpjidcl  20015  pgpfaclem3  20040  simpgnideld  20056  c0ghm  20400  c0snghm  20403  dsmmsubg  21677  frlm0  21688  mdetunilem7  22533  istgp2  24008  cyc3genpm  32886  isarchi3  32908  reofld  33069  lbslsat  33314  dimkerim  33325  fedgmullem2  33328  primrootscoprbij  41573  pwssplit4  42513  pwslnmlem2  42517  lcoel0  47496

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »