Theorem symgsubmefmndALT 19365

Description: The symmetric group on a set 𝐴 is a submonoid of the monoid of endofunctions on 𝐴. Alternate proof based on issubmndb 18764 and not on injsubmefmnd 18856 and sursubmefmnd 18855. (Contributed by AV, 18-Feb-2024.) (Revised by AV, 30-Mar-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsubmefmndALT.m	⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
symgsubmefmndALT.g	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgsubmefmndALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgsubmefmndALT	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem symgsubmefmndALT

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symgsubmefmndALT.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (EndoFMnd‘𝐴)
2	1	efmndmnd 18848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
3		symgsubmefmndALT.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgsubmefmndALT.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4, 1	symgressbas 19343	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑀 ↾s 𝐵)
6	3	symggrp 19362	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Grp)
7		grpmnd 18904	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ Mnd)
9	5, 8	eqeltrrid 2834	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd)
10	3	idresperm 19347	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) ∈ (Base‘𝐺))
11	1	efmndid 18847	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ( I ↾ 𝐴) = (0g‘𝑀))
12	4	eqcomi 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = 𝐵
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = 𝐵)
14	10, 11, 13	3eltr3d 2843	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)
15	3, 4	symgbasmap 19338	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐵 → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴))
16	15	ssriv 3986	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴)
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
18	1, 17	efmndbas 18830	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑀) = (𝐴 ↑m 𝐴)
19	16, 18	sseqtrri 4019	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑀)
20	14, 19	jctil 518	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵))
21		eqid 2728	. . 3 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
22	17, 21	issubmndb 18764	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑀 ↾s 𝐵) ∈ Mnd) ∧ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝐵)))
23	2, 9, 20, 22	syl21anbrc 1341	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐵 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3949   I cid 5579   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ↑_m cmap 8851  Basecbs 17187   ↾_s cress 17216  0_gc0g 17428  Mndcmnd 18701  SubMndcsubmnd 18746  EndoFMndcefmnd 18827  Grpcgrp 18897  SymGrpcsymg 19328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-tset 17259  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-efmnd 18828  df-grp 18900  df-symg 19329

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »