Theorem islln2 39098

Description: The predicate "is a lattice line". (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islln3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
islln3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islln3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islln3.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islln2	⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐵,𝑝,𝑞   𝐾,𝑝,𝑞   𝑋,𝑝,𝑞

Allowed substitution hints:   ∨ (𝑞,𝑝)   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem islln2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islln3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		islln3.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
3	1, 2	llnbase 39096	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ 𝐵)
4	3	pm4.71ri 559	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁))
5		islln3.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		islln3.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	1, 5, 6, 2	islln3 39097	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞))))
8	7	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))
9	4, 8	bitrid 282	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑋 ∈ 𝑁 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 (𝑝 ≠ 𝑞 ∧ 𝑋 = (𝑝 ∨ 𝑞)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059  ‘cfv 6548  (class class class)co 7418  Basecbs 17181  joincjn 18304  Atomscatm 38849  HLchlt 38936  LLinesclln 39078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18288  df-poset 18306  df-plt 18323  df-lub 18339  df-glb 18340  df-join 18341  df-meet 18342  df-p0 18418  df-lat 18425  df-clat 18492  df-oposet 38762  df-ol 38764  df-oml 38765  df-covers 38852  df-ats 38853  df-atl 38884  df-cvlat 38908  df-hlat 38937  df-llines 39085

This theorem is referenced by:  islpln5  39122  lplnnlelln  39130  llncvrlpln2  39144  2llnjN  39154  lvolnlelln  39171

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »