Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem13 36069
Description: Lemma for knoppndv 36079. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem13.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem13 (𝜑𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem13.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
21adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3 0lt1 11766 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 11246 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 11244 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 11363 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
109abs00bd 15270 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
1110oveq2d 7433 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13 knoppndvlem13.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
14 nncn 12250 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1716mul01d 11443 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
1812, 17eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
1918eqcomd 2731 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2019breq2d 5160 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
218, 20mtbid 323 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
222, 21pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
2322neqned 2937 1 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930   class class class wbr 5148  cfv 6547  (class class class)co 7417  cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   · cmul 11143   < clt 11278  -cneg 11475  cn 12242  (,)cioo 13356  abscabs 15213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36070  knoppndvlem17  36073
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »