Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppndvlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppndvlem13 36111
Description: Lemma for knoppndv 36121. (Contributed by Asger C. Ipsen, 1-Jul-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppndvlem13.c (𝜑𝐶 ∈ (-1(,)1))
knoppndvlem13.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppndvlem13.1 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
Assertion
Ref Expression
knoppndvlem13 (𝜑𝐶 ≠ 0)

Proof of Theorem knoppndvlem13
StepHypRef Expression
1 knoppndvlem13.1 . . . 4 (𝜑 → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
21adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
3 0lt1 11767 . . . . . 6 0 < 1
4 0re 11247 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
5 1re 11245 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
64, 5ltnsymi 11364 . . . . . 6 (0 < 1 → ¬ 1 < 0)
73, 6ax-mp 5 . . . . 5 ¬ 1 < 0
87a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < 0)
9 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
109abs00bd 15272 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 0 → (abs‘𝐶) = 0)
1110oveq2d 7434 . . . . . . . 8 (𝐶 = 0 → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = (𝑁 · 0))
13 knoppndvlem13.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
14 nncn 12251 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1716mul01d 11444 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · 0) = 0)
1812, 17eqtrd 2765 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 = 0) → (𝑁 · (abs‘𝐶)) = 0)
1918eqcomd 2731 . . . . 5 ((𝜑𝐶 = 0) → 0 = (𝑁 · (abs‘𝐶)))
2019breq2d 5161 . . . 4 ((𝜑𝐶 = 0) → (1 < 0 ↔ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶))))
218, 20mtbid 323 . . 3 ((𝜑𝐶 = 0) → ¬ 1 < (𝑁 · (abs‘𝐶)))
222, 21pm2.65da 815 . 2 (𝜑 → ¬ 𝐶 = 0)
2322neqned 2936 1 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6548  (class class class)co 7418  cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144   < clt 11279  -cneg 11476  cn 12243  (,)cioo 13357  abscabs 15215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6306  df-ord 6373  df-on 6374  df-lim 6375  df-suc 6376  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-sup 9466  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15080  df-re 15081  df-im 15082  df-sqrt 15216  df-abs 15217
This theorem is referenced by:  knoppndvlem14  36112  knoppndvlem17  36115
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »