Theorem lcm3un 41599

Description: Least common multiple of natural numbers up to 3 equals 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm3un	⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Proof of Theorem lcm3un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12322	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41596	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3)
5		3m1e2 12371	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
6	5	oveq2i 7429	. . . . . 6 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
7	6	fveq2i 6898	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = (lcm‘(1...2))
8		lcm2un 41598	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2
9	7, 8	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = 2
10	9	oveq1i 7428	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = (2 lcm 3)
11		2z 12625	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12626	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 469	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
14		lcmcom 16565	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 lcm 3) = (3 lcm 2)
16		3lcm2e6 16705	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) = 6
17	15, 16	eqtri 2753	. . 3 ⊢ (2 lcm 3) = 6
18	10, 17	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = 6
19	4, 18	eqtri 2753	1 ⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6548  (class class class)co 7418  1c1 11140   − cmin 11475  ℕcn 12243  2c2 12298  3c3 12299  6c6 12302  ℤcz 12589  ...cfz 13517   lcm clcm 16560  lcmclcmf 16561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6306  df-ord 6373  df-on 6374  df-lim 6375  df-suc 6376  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7374  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13791  df-mod 13869  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14324  df-cj 15080  df-re 15081  df-im 15082  df-sqrt 15216  df-abs 15217  df-clim 15466  df-prod 15884  df-dvds 16233  df-gcd 16471  df-lcm 16562  df-lcmf 16563  df-prm 16644

This theorem is referenced by:  lcm4un  41600

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »