Theorem lduallmodlem 38624

Description: Lemma for lduallmod 38625. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallmod.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
lduallmod.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
lduallmod.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
lduallmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lduallmodlem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		lduallmod.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lduallmod.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 38598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2729	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		lduallmod.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		lduallmod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
11	8, 9, 2, 10, 4	ldualsca 38604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
12	11	eqcomd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13		lduallmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝐷))
15		lduallmod.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	9, 15	opprbas 20280	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑂)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
18		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	9, 18	oppradd 20282	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
21	11	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘𝑂))
22		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	9, 22	oppr1 20289	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
25	8	lmodring 20751	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	9	opprring 20286	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	4, 25, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28	2, 4	ldualgrp 38618	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
29	4	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐾)
31		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
32	1, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31	ldualvscl 38611	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33		eqid 2728	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
34	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
36		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
37		simpr3 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
38	1, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37	ldualvsdi1 38615	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
39	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1192	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
41		simpr2 1193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
42		simpr3 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	1, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsdi2 38616	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44		eqid 2728	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
45	1, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsass2 38614	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46		lduallmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
47		lduallmod.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
49	15, 22	ringidcl 20202	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
50	4, 25, 49	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
53	1, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52	ldualvs 38609	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})))
54	46, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52	lfl1sc 38556	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})) = 𝑥)
55	53, 54	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
56	6, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55	islmodd 20749	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4629   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7683  Basecbs 17180  +_gcplusg 17233  ._rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  opp_rcoppr 20272  LModclmod 20743  LFnlclfn 38529  LDualcld 38595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-lmod 20745  df-lfl 38530  df-ldual 38596

This theorem is referenced by:  lduallmod  38625

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »