Theorem ledivp1i 12167

Description: "Less than or equal to" and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
prodgt0.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ 𝐶 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ledivp1i	⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ledivp1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltplus1.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltmul1.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
3		1re 11242	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	readdcli 11257	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℝ
5	2	ltp1i 12146	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 < (𝐶 + 1)
6	2, 4, 5	ltleii 11365	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)
7		lemul2a 12097	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ (𝐶 + 1)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
8	6, 7	mpan2 689	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
9	2, 4, 8	mp3an12 1447	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
10	1, 9	mpan 688	. . 3 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
11	10	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)))
12		0re 11244	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12, 2, 4	lelttri 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 < (𝐶 + 1)) → 0 < (𝐶 + 1))
14	5, 13	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → 0 < (𝐶 + 1))
15	4	gt0ne0i 11777	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐶 + 1) ≠ 0)
16		prodgt0.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
17	16, 4	redivclzi 12008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
18	15, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ)
19		lemul1 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
20	1, 19	mp3an1 1444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1))) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
21	20	ex 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (((𝐶 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 + 1)) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
22	4, 21	mpani 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) ∈ ℝ → (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))))
23	18, 22	mpcom 38	. . . . . . 7 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) ↔ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
24	23	biimpd 228	. . . . . 6 ⊢ (0 < (𝐶 + 1) → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
25	14, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → (𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1)) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1))))
26	25	imp 405	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)))
27	16	recni 11256	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
28	4	recni 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 + 1) ∈ ℂ
29	27, 28	divcan1zi 11978	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 + 1) ≠ 0 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
30	14, 15, 29	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐶 → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
31	30	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → ((𝐵 / (𝐶 + 1)) · (𝐶 + 1)) = 𝐵)
32	26, 31	breqtrd 5167	. . 3 ⊢ ((0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
33	32	3adant1 1127	. 2 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵)
34	1, 2	remulcli 11258	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
35	1, 4	remulcli 11258	. . 3 ⊢ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∈ ℝ
36	34, 35, 16	letri 11371	. 2 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ∧ (𝐴 · (𝐶 + 1)) ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)
37	11, 33, 36	syl2anc 582	1 ⊢ ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶 ∧ 𝐴 ≤ (𝐵 / (𝐶 + 1))) → (𝐴 · 𝐶) ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5141  (class class class)co 7414  ℝcr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   · cmul 11141   < clt 11276   ≤ cle 11277   / cdiv 11899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5568  df-po 5582  df-so 5583  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900

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