Theorem lefldiveq 44736

Description: A closed enough, smaller real 𝐶 has the same floor of 𝐴 when both are divided by 𝐵. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lefldiveq.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lefldiveq.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
lefldiveq.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))

Assertion

Ref	Expression
lefldiveq	⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lefldiveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lefldiveq.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		lefldiveq.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		moddiffl 13877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) = (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
5	1, 2	rerpdivcld 13077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	5	flcld 13793	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℤ)
7	4, 6	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ)
8		flid 13803	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℤ → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) = ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵))
10	9, 4	eqtr2d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)))
11	1, 2	modcld 13870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐵) ∈ ℝ)
12	1, 11	resubcld 11670	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ)
13	12, 2	rerpdivcld 13077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ)
14		iccssre 13436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
15	12, 1, 14	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴) ⊆ ℝ)
16		lefldiveq.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴))
17	15, 16	sseldd 3973	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
18	17, 2	rerpdivcld 13077	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
19	12	rexrd 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ*)
20	1	rexrd 11292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
21		iccgelb 13410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
22	19, 20, 16, 21	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ≤ 𝐶)
23	12, 17, 2, 22	lediv1dd 13104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵))
24		flwordi 13807	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐵)) → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
25	13, 18, 23, 24	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
26	10, 25	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))
27		iccleub 13409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵)) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝐴 − (𝐴 mod 𝐵))[,]𝐴)) → 𝐶 ≤ 𝐴)
28	19, 20, 16, 27	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)
29	17, 1, 2, 28	lediv1dd 13104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵))
30		flwordi 13807	. . 3 ⊢ (((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 𝐵)) → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
31	18, 5, 29, 30	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))
32		reflcl 13791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
33	5, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ∈ ℝ)
34		reflcl 13791	. . . 4 ⊢ ((𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
35	18, 34	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∈ ℝ)
36	33, 35	letri3d 11384	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ↔ ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ∧ (⌊‘(𝐶 / 𝐵)) ≤ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)))))
37	26, 31, 36	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = (⌊‘(𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  ℝcr 11135  ℝ^*cxr 11275   ≤ cle 11277   − cmin 11472   / cdiv 11899  ℤcz 12586  ℝ⁺crp 13004  [,]cicc 13357  ⌊cfl 13785   mod cmo 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-sup 9463  df-inf 9464  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-icc 13361  df-fl 13787  df-mod 13865

This theorem is referenced by:  ltmod  45088

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »