Theorem leltadd 11728

Description: Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
leltadd	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Proof of Theorem leltadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltleadd 11727	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐵 < 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
2	1	ancomsd 464	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
3	2	ancom2s 648	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
4	3	ancom1s 651	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
5		recn 11228	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
6		recn 11228	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
7		addcom 11430	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
8	5, 6, 7	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
9		recn 11228	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
10		recn 11228	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
11		addcom 11430	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
12	9, 10, 11	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 + 𝐷) = (𝐷 + 𝐶))
13	8, 12	breqan12d 5164	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐷 + 𝐶)))
14	4, 13	sylibrd 258	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5148  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  ℝcr 11137   + caddc 11141   < clt 11278   ≤ cle 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-ov 7420  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284

This theorem is referenced by:  lt2add  11729  addgegt0  11731  leltaddd  11866  fldiv  13858  dp2lt10  32669

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »