Theorem limsupgt 45166

Description: Given a sequence of real numbers, there exists an upper part of the sequence that's appxoximated from below by the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupgt.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
limsupgt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupgt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupgt.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
limsupgt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
limsupgt.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
limsupgt	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹   𝑗,𝑋,𝑘   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝑀(𝑗,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem limsupgt

Dummy variables 𝑖 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupgt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		limsupgt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		limsupgt.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ)
4		limsupgt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ)
5		limsupgt.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	1, 2, 3, 4, 5	limsupgtlem 45165	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
7		limsupgt.k	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
8		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘𝑙
9	7, 8	nffv 6907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘(𝐹‘𝑙)
10		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 −
11		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑋
12	9, 10, 11	nfov 7450	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋)
13		nfcv 2899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 <
14		nfcv 2899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘lim sup
15	14, 7	nffv 6907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(lim sup‘𝐹)
16	12, 13, 15	nfbr 5195	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
17		nfv 1910	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑙((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)
18		fveq2 6897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑘))
19	18	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹‘𝑙) − 𝑋) = ((𝐹‘𝑘) − 𝑋))
20	19	breq1d 5158	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝑘 → (((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
21	16, 17, 20	cbvralw 3300	. . . . 5 ⊢ (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
23		fveq2 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (ℤ≥‘𝑖) = (ℤ≥‘𝑗))
24	23	raleqdv 3322	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
25	22, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹)))
26	25	cbvrexvw 3232	. 2 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝑍 ∀𝑙 ∈ (ℤ≥‘𝑖)((𝐹‘𝑙) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))
27	6, 26	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)((𝐹‘𝑘) − 𝑋) < (lim sup‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Ⅎwnfc 2879  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   class class class wbr 5148  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℝcr 11137   < clt 11278   − cmin 11474  ℤcz 12588  ℤ_≥cuz 12852  ℝ⁺crp 13006  lim supclsp 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ico 13362  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-ceil 13790  df-limsup 15447

This theorem is referenced by:  liminfltlem  45192  liminflimsupclim  45195

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »