Theorem limsupvaluz3 45188

Description: Alternate definition of lim inf for an extended real-valued function, defined on a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvaluz3.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
limsupvaluz3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
limsupvaluz3.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
limsupvaluz3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
limsupvaluz3	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem limsupvaluz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvaluz3.k	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		limsupvaluz3.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3	2	fvexi 6914	. . 3 ⊢ 𝑍 ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ V)
5		limsupvaluz3.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	zred 12702	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
8	5, 2	uzinico3 44950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)))
9	8	eqcomd 2733	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
10	9	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞)) = 𝑍)
11	7, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
12		limsupvaluz3.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ*)
13	11, 12	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑍 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	1, 4, 6, 13	limsupval4 45184	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim inf‘(𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471   ∩ cin 3946   ↦ cmpt 5233  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  +∞cpnf 11281  ℝ^*cxr 11283  ℤcz 12594  ℤ_≥cuz 12858  -_𝑒cxne 13127  [,)cico 13364  lim supclsp 15452  lim infclsi 45141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-q 12969  df-xneg 13130  df-ico 13368  df-limsup 15453  df-liminf 45142

This theorem is referenced by:  limsupvaluz4  45190

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »