Theorem lssvancl2 20835

Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. (Contributed by NM, 20-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvancl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lssvancl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssvancl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
lssvancl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
lssvancl.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssvancl2	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvancl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lssvancl.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
3		lssvancl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑈)
4		lssvancl.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lssvancl.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
6	4, 5	lssel 20826	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7	2, 3, 6	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		lssvancl.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		lssvancl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
10	4, 9	lmodcom 20796	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
11	1, 7, 8, 10	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
12		lssvancl.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝑈)
13	4, 9, 5, 1, 2, 3, 8, 12	lssvancl1 20834	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
14	11, 13	eqneltrrd 2849	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  +_gcplusg 17238  LModclmod 20748  LSubSpclss 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-lmod 20750  df-lss 20821

This theorem is referenced by:  dvh3dim2  40925  dvh3dim3N  40926  hdmap11lem2  41319  hdmaprnlem3N  41327

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »