Theorem ltaddrpd 13082

Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpgecld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
ltaddrpd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem ltaddrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpgecld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgecld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		ltaddrp 13044	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝcr 11138   + caddc 11142   < clt 11279  ℝ⁺crp 13007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-rp 13008

This theorem is referenced by:  ltaddrp2d  13083  xov1plusxeqvd  13508  isumltss  15827  effsumlt  16088  tanhlt1  16137  4sqlem12  16925  vdwlem1  16950  prmgaplem7  17026  chfacfscmul0  22773  chfacfpmmul0  22777  nlmvscnlem2  24615  nlmvscnlem1  24616  iccntr  24750  icccmplem2  24752  reconnlem2  24756  opnreen  24760  lebnumii  24905  ipcnlem2  25185  ipcnlem1  25186  ivthlem2  25394  ovolgelb  25422  ovollb2lem  25430  itg2monolem3  25695  dvferm1lem  25929  lhop1lem  25959  lhop  25962  dvcnvrelem1  25963  dvcnvrelem2  25964  pserdvlem1  26377  pserdv  26379  lgamgulmlem2  26975  lgamgulmlem3  26976  lgamucov  26983  perfectlem2  27176  bposlem2  27231  pntibndlem2  27537  pntlemb  27543  pntlem3  27555  tpr2rico  33513  omssubaddlem  33919  fibp1  34021  heicant  37128  itg2addnc  37147  rrnequiv  37308  2np3bcnp1  41616  2ap1caineq  41617  pellfundex  42306  rmspecfund  42329  acongeq  42404  jm3.1lem2  42439  oddfl  44659  infrpge  44733  xralrple2  44736  xrralrecnnle  44765  iooiinicc  44927  iooiinioc  44941  fsumnncl  44960  climinf  44994  lptre2pt  45028  ioodvbdlimc1lem2  45320  wallispilem4  45456  dirkertrigeqlem3  45488  dirkercncflem2  45492  fourierdlem63  45557  fourierdlem65  45559  fourierdlem75  45569  fourierdlem79  45573  fouriersw  45619  etransclem35  45657  qndenserrnbllem  45682  omeiunltfirp  45907  hoidmvlelem1  45983  hoidmvlelem3  45985  hoiqssbllem3  46012  iinhoiicc  46062  iunhoiioo  46064  vonioolem2  46069  vonicclem1  46071  preimaleiinlt  46109  smfmullem3  46181  perfectALTVlem2  47062

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »