Theorem mbfaddlem 25582

Description: The sum of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfadd.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfadd.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbfaddlem	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfaddlem

Dummy variables 𝑟 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 11215	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		mbfadd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
4		mbfadd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
5	3	fdmd 6727	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfadd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25548	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11	2, 3, 4, 9, 9, 10	off 7697	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
12		eliun 4995	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
13		r19.42v 3186	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
14		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
15	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
16	15	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
17	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
18	17	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
19	14, 16, 18	ltsubaddd 11834	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
20	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑦 ∈ ℝ)
21		qre 12961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑟 ∈ ℚ → 𝑟 ∈ ℝ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ)
23	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ)
24		ltsub23 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
25	20, 22, 23, 24	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟))
26	25	anbi1cd 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
27	26	rexbidva 3172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
28	14, 16	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
30	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
31		lttr 11314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
32	29, 22, 30, 31	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
33	32	rexlimdva 3151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) → (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
34		qbtwnre 13204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
35	34	3expia 1119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
36	28, 18, 35	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
37	33, 36	impbid 211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < 𝑟 ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
38	27, 37	bitrd 279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ (𝑦 − (𝐺‘𝑥)) < (𝐹‘𝑥)))
39	3	ffnd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn 𝐴)
41	4	ffnd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐺 Fn 𝐴)
43	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
44		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
45		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
46	40, 42, 43, 43, 10, 44, 45	ofval 7690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
47	46	breq2d 5154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ↔ 𝑦 < ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
48	19, 38, 47	3bitr4d 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
49	22	rexrd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → 𝑟 ∈ ℝ*)
50		elioopnf 13446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑟 < (𝐹‘𝑥))))
52	30, 51	mpbirand 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ↔ 𝑟 < (𝐹‘𝑥)))
53	20, 22	resubcld 11666	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
54	53	rexrd 11288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
55		elioopnf 13446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ ((𝐺‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
57	23, 56	mpbirand 706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞) ↔ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥)))
58	52, 57	anbi12d 631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
59	58	rexbidva 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑟 < (𝐹‘𝑥) ∧ (𝑦 − 𝑟) < (𝐺‘𝑥))))
60	11	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺):𝐴⟶ℝ)
61	60	ffvelcdmda 7088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ)
62	14	rexrd 11288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
63		elioopnf 13446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥))))
65	61, 64	mpbirand 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞) ↔ 𝑦 < ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥)))
66	48, 59, 65	3bitr4d 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞)))
67	66	pm5.32da 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑟 ∈ ℚ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
68	13, 67	bitrid 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
69		elpreima 7061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
70	40, 69	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞))))
71		elpreima 7061	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
72	42, 71	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
73	70, 72	anbi12d 631	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
74		elin 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
75		anandi 675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))))
76	73, 74, 75	3bitr4g 314	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
77	76	rexbidv 3174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ ∃𝑟 ∈ ℚ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑟(,)+∞) ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)))))
78	11	ffnd 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
79	78	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴)
80		elpreima 7061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∘f + 𝐺) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
81	79, 80	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑦(,)+∞))))
82	68, 77, 81	3bitr4d 311	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑥 ∈ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
83	12, 82	bitrid 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ↔ 𝑥 ∈ (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞))))
84	83	eqrdv 2726	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) = (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)))
85		qnnen 16183	. . . . 5 ⊢ ℚ ≈ ℕ
86		endom 8993	. . . . 5 ⊢ (ℚ ≈ ℕ → ℚ ≼ ℕ)
87	85, 86	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ℚ ≼ ℕ
88		mbfima 25552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
89	6, 3, 88	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol)
90		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
91		mbfima 25552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ MblFn ∧ 𝐺:𝐴⟶ℝ) → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
92	90, 4, 91	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol)
93		inmbl 25464	. . . . . . 7 ⊢ (((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∈ dom vol ∧ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
94	89, 92, 93	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
95	94	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) → ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
96	95	ralrimiva 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
97		iunmbl2 25479	. . . 4 ⊢ ((ℚ ≼ ℕ ∧ ∀𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
98	87, 96, 97	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∪ 𝑟 ∈ ℚ ((◡𝐹 “ (𝑟(,)+∞)) ∩ (◡𝐺 “ ((𝑦 − 𝑟)(,)+∞))) ∈ dom vol)
99	84, 98	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡(𝐹 ∘f + 𝐺) “ (𝑦(,)+∞)) ∈ dom vol)
100	11, 99	ismbf3d 25576	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3057  ∃wrex 3066   ∩ cin 3944  ∪ ciun 4991   class class class wbr 5142  ^◡ccnv 5671  dom cdm 5672   “ cima 5675   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955  ℝcr 11131   + caddc 11135  +∞cpnf 11269  ℝ^*cxr 11271   < clt 11272   − cmin 11468  ℕcn 12236  ℚcq 12956  (,)cioo 13350  volcvol 25385  MblFncmbf 25536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-dju 9918  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xadd 13119  df-ioo 13354  df-ioc 13355  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-xmet 21265  df-met 21266  df-ovol 25386  df-vol 25387  df-mbf 25541

This theorem is referenced by:  mbfadd  25583

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »