Theorem modsub12d 13948

Description: Subtraction property of the modulo operation. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
modadd12d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
modadd12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
modadd12d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
modadd12d.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
modadd12d.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
modadd12d.6	⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
modadd12d.7	⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
modsub12d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Proof of Theorem modsub12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		modadd12d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		modadd12d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		modadd12d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11691	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐶 ∈ ℝ)
5		modadd12d.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11691	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝐷 ∈ ℝ)
7		modadd12d.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
8		modadd12d.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 mod 𝐸) = (𝐵 mod 𝐸))
9		modadd12d.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 mod 𝐸) = (𝐷 mod 𝐸))
10	3, 5, 7, 9	modnegd 13946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝐶 mod 𝐸) = (-𝐷 mod 𝐸))
11	1, 2, 4, 6, 7, 8, 10	modadd12d 13947	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸))
12	1	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	3	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 11627	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐶) = (𝐴 − 𝐶))
15	14	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + -𝐶) mod 𝐸) = ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸))
16	2	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
17	5	recnd 11292	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
18	16, 17	negsubd 11627	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + -𝐷) = (𝐵 − 𝐷))
19	18	oveq1d 7439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + -𝐷) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))
20	11, 15, 19	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐶) mod 𝐸) = ((𝐵 − 𝐷) mod 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7424  ℝcr 11157   + caddc 11161   − cmin 11494  -cneg 11495  ℝ⁺crp 13028   mod cmo 13889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9485  df-inf 9486  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fl 13812  df-mod 13890

This theorem is referenced by:  modsubmod  13949  modsubmodmod  13950  fermltlchr  21523  znfermltl  33241  proththd  47186

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »