Theorem mulassnni 41457

Description: Associative law for multiplication. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulassnni.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
mulassnni.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ
mulassnni.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
mulassnni	⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem mulassnni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulassnni.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2	1	nncni 12253	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		mulassnni.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ
4	3	nncni 12253	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
5		mulassnni.3	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ
6	5	nncni 12253	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
7	2, 4, 6	mulassi 11256	1 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7420   · cmul 11144  ℕcn 12243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-1cn 11197  ax-addcl 11199  ax-mulass 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12244

This theorem is referenced by:  420lcm8e840  41482

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »