Theorem naddel1 8712

Description: Ordinal less-than is not affected by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
naddel1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))

Proof of Theorem naddel1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naddelim 8711	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 → (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
2		naddssim 8710	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶)))
3	2	3com12 1120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶)))
4		ontri1 6406	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
5	4	ancoms 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	5	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐵))
7		naddcl 8702	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
8	7	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐵 +no 𝐶) ∈ On)
9		naddcl 8702	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 +no 𝐶) ∈ On)
10		ontri1 6406	. . . 4 ⊢ (((𝐵 +no 𝐶) ∈ On ∧ (𝐴 +no 𝐶) ∈ On) → ((𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
11	8, 9, 10	3imp3i2an 1342	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → ((𝐵 +no 𝐶) ⊆ (𝐴 +no 𝐶) ↔ ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
12	3, 6, 11	3imtr3d 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (¬ 𝐴 ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))
13	1, 12	impcon4bid 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐶 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +no 𝐶) ∈ (𝐵 +no 𝐶)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3947  Oncon0 6372  (class class class)co 7424   +no cnadd 8690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-nadd 8691

This theorem is referenced by:  naddel2  8713  naddss1  8714  naddel12  8725  addsproplem2  27905  mulsproplem2  28035  mulsproplem5  28038  mulsproplem6  28039  mulsproplem7  28040  mulsproplem8  28041

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »