Theorem negexsr 11127

Description: Existence of negative signed real. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 2-May-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
negexsr	⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem negexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		m1r 11107	. . 3 ⊢ -1R ∈ R
2		mulclsr 11109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ -1R ∈ R) → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R -1R) ∈ R)
4		pn0sr 11126	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R)
5		oveq2 7427	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → (𝐴 +R 𝑥) = (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)))
6	5	eqeq1d 2727	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝐴 ·R -1R) → ((𝐴 +R 𝑥) = 0R ↔ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R))
7	6	rspcev 3606	. 2 ⊢ (((𝐴 ·R -1R) ∈ R ∧ (𝐴 +R (𝐴 ·R -1R)) = 0R) → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)
8	3, 4, 7	syl2anc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → ∃𝑥 ∈ R (𝐴 +R 𝑥) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  (class class class)co 7419  Rcnr 10890  0_Rc0r 10891  -1_Rcm1r 10893   +_R cplr 10894   ·_R cmr 10895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006  df-1p 11007  df-plp 11008  df-mp 11009  df-ltp 11010  df-enr 11080  df-nr 11081  df-plr 11082  df-mr 11083  df-0r 11085  df-1r 11086  df-m1r 11087

This theorem is referenced by: (None)

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »