MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclsr 11108
Description: Closure of multiplication on signed reals. (Contributed by NM, 10-Aug-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclsr ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem mulclsr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 11080 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 oveq1 7425 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
32eleq1d 2810 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4 oveq2 7426 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 ·R 𝐵))
54eleq1d 2810 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6 mulsrpr 11100 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
7 mulclpr 11044 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
8 mulclpr 11044 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
9 addclpr 11042 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
107, 8, 9syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
1110an4s 658 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
12 mulclpr 11044 . . . . . . . 8 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
13 mulclpr 11044 . . . . . . . 8 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
14 addclpr 11042 . . . . . . . 8 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1512, 13, 14syl2an 594 . . . . . . 7 (((𝑥P𝑤P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1615an42s 659 . . . . . 6 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1711, 16jca 510 . . . . 5 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
18 opelxpi 5715 . . . . 5 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) → ⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P))
19 enrex 11091 . . . . . 6 ~R ∈ V
2019ecelqsi 8791 . . . . 5 (⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩ ∈ (P × P) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
2117, 18, 203syl 18 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
226, 21eqeltrd 2825 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
231, 3, 5, 222ecoptocl 8826 . 2 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
2423, 1eleqtrrdi 2836 1 ((𝐴R𝐵R) → (𝐴 ·R 𝐵) ∈ R)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cop 4636   × cxp 5676  (class class class)co 7418  [cec 8722   / cqs 8723  Pcnp 10883   +P cpp 10885   ·P cmp 10886   ~R cer 10888  Rcnr 10889   ·R cmr 10894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6306  df-ord 6373  df-on 6374  df-lim 6375  df-suc 6376  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-ec 8726  df-qs 8730  df-ni 10896  df-pli 10897  df-mi 10898  df-lti 10899  df-plpq 10932  df-mpq 10933  df-ltpq 10934  df-enq 10935  df-nq 10936  df-erq 10937  df-plq 10938  df-mq 10939  df-1nq 10940  df-rq 10941  df-ltnq 10942  df-np 11005  df-plp 11007  df-mp 11008  df-ltp 11009  df-enr 11079  df-nr 11080  df-mr 11082
This theorem is referenced by:  dmmulsr  11110  negexsr  11126  sqgt0sr  11130  recexsr  11131  map2psrpr  11134  mulresr  11163  axmulf  11170  axmulrcl  11178  axmulass  11181  axdistr  11182  axrnegex  11186
  Copyright terms: Public domain W3C validator
OSZAR »