Theorem normpyth 30975

Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normpyth	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpyth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7433	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵))
2	1	eqeq1d 2730	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0))
3		fvoveq1 7449	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)))
4	3	oveq1d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2))
5		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘𝐴) = (normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ)))
6	5	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐴)↑2) = ((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2))
7	6	oveq1d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))
8	4, 7	eqeq12d 2744	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))
9	2, 8	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)))))
10		oveq2 7434	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
11	10	eqeq1d 2730	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0))
12		oveq2 7434	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
13	12	fveq2d 6906	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
14	13	oveq1d 7441	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2))
15		fveq2 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘𝐵) = (normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
16	15	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘𝐵)↑2) = ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))
17	16	oveq2d 7442	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
18	14, 17	eqeq12d 2744	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2))))
19	11, 18	imbi12d 343	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))))
20		ifhvhv0 30852	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
21		ifhvhv0 30852	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
22	20, 21	normpythi 30972	. 2 ⊢ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = 0 → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) +ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))↑2) = (((normℎ‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ))↑2) + ((normℎ‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))↑2)))
23	9, 19, 22	dedth2h 4591	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((normℎ‘(𝐴 +ℎ 𝐵))↑2) = (((normℎ‘𝐴)↑2) + ((normℎ‘𝐵)↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4532  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0cc0 11146   + caddc 11149  2c2 12305  ↑cexp 14066   ℋchba 30749   +_ℎ cva 30750   ·_ih csp 30752  norm_ℎcno 30753  0_ℎc0v 30754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-hfvadd 30830  ax-hv0cl 30833  ax-hvmul0 30840  ax-hfi 30909  ax-his1 30912  ax-his2 30913  ax-his3 30914  ax-his4 30915

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-hnorm 30798

This theorem is referenced by:  normpyc  30976  chscllem2  31468  hstnmoc  32053  hstpyth  32059

Otomatik - 173.255.232.114 CloudFlare DNS Türk Telekom DNS Google DNS Open DNS

OSZAR »